حل تمرین صفحه 145 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 145 - فعالیت 3 این فعالیت به شما کمک می‌کند تا رابطه‌ی بین **کسر دایره**، **اندازه‌ی کمان (درجه)**، و **طول کمان (بر حسب $\mathbf{\pi}$)** را درک کنید. دایره دارای شعاع $\mathbf{r = 1}$ سانتی‌متر است، بنابراین محیط آن ($\mathbf{P}$) برابر است با: $${ \mathbf{P} = 2 \pi r = 2 \pi (1) = 2 \pi }$$ اندازه‌ی کمان (درجه) $\mathbf{\alpha}$ و طول کمان ($\mathbf{L}$) با کسر طی شده ($\mathbf{K}$) از دایره رابطه‌ی زیر را دارند: $${ \mathbf{K} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} = \frac{\mathbf{L}}{\mathbf{2\pi}} }$$ ### تکمیل جدول | شکل | $\text{شکل 1 (کامل)}$ | $\text{شکل 2 (نیم دایره)}$ | $\text{شکل 3}$ | $\text{شکل 4}$ | $\text{شکل 5}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **کسر طی شده از دایره (K)** | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | $\mathbf{\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}}$ | $\mathbf{\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}}$ | $\mathbf{\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}}$ | | **اندازه‌ی کمان طی شده (درجه) (\(\alpha\))** | $\mathbf{360^{\circ}}$ | $\mathbf{180^{\circ}}$ | $\mathbf{180^{\circ}}$ | $\mathbf{120^{\circ}}$ | $\mathbf{90^{\circ}}$ | | **طول تقریبی کمان طی شده (L)** | $\mathbf{2\pi}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{2} = \pi}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{2} = \pi}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{3}}$ | $\mathbf{\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}}$ | ### توضیحات برای ستون‌های خالی 1. **ستون 1:** کمان طی شده کل دایره است. $\mathbf{K = 1}$، $\mathbf{\alpha = 360^{\circ}}$، $\mathbf{L = 2\pi}$. 2. **ستون 2:** کمان طی شده نصف دایره است. $\mathbf{K = 1/2}$، $\mathbf{\alpha = 180^{\circ}}$، $\mathbf{L = 2\pi \times 1/2 = \pi}$. 3. **ستون 3:** اندازه‌ی کمان $\mathbf{180^{\circ}}$ داده شده است. $\mathbf{K = 180^{\circ} / 360^{\circ} = 1/2}$ و $\mathbf{L = 2\pi \times 1/2 = \pi}$. 4. **ستون 4:** طول کمان $\mathbf{2\pi/3}$ داده شده است. $\mathbf{K = L / 2\pi = (2\pi/3) / 2\pi = 1/3}$. $\mathbf{\alpha = 360^{\circ} \times 1/3 = 120^{\circ}}$. 5. **ستون 5:** اندازه‌ی کمان $\mathbf{90^{\circ}}$ داده شده است. $\mathbf{K = 90^{\circ} / 360^{\circ} = 1/4}$. $\mathbf{L = 2\pi \times 1/4 = \pi/2}$ (یا $\mathbf{2\pi/4}$ که در جدول آمده است). **نتیجه‌گیری:** همانطور که دیدید، کسر کمان از دایره با کسر زاویه‌ی مرکزی آن از $360^{\circ}$ و همچنین کسر طول کمان از محیط دایره **برابر** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 145 - فعالیت 4 این فعالیت ویژگی‌های یک چهارضلعی محاطی خاص (که از قطرهای عمود بر هم به دست آمده) را بررسی می‌کند. ### الف) برابری کمان‌ها **چرا کمان‌های $\overparen{AC}$، $\overparen{CB}$، $\overparen{BD}$ و $\overparen{DA}$ با هم مساوی‌اند؟** 1. **زاویه‌ی مرکزی:** چون قطرها ($\mathbf{\overline{AB}}$ و $\mathbf{\overline{CD}}$) بر هم عمودند و در مرکز $\mathbf{O}$ یکدیگر را قطع کرده‌اند، چهار زاویه‌ی مرکزی قائمه ($\mathbf{90^{\circ}}$) ایجاد می‌شود: $${ \angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ} }$$ 2. **رابطه کمان و زاویه‌ی مرکزی:** اندازه‌ی هر کمان برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است. $${ \text{اندازه کمان} = 90^{\circ} }$$ **نتیجه:** چون اندازه‌ی زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به این کمان‌ها همگی $\mathbf{90^{\circ}}$ هستند، پس هر چهار کمان با هم مساوی‌اند. ### ب) برابری وترها **آیا وترهای $\mathbf{\overline{AC}}$، $\mathbf{\overline{CB}}$، $\mathbf{\overline{BD}}$ و $\mathbf{\overline{DA}}$ نیز با هم مساوی‌اند؟** 1. **رابطه کمان و وتر:** در یک دایره، **وترهای روبه‌رو به کمان‌های مساوی، مساوی هستند.** 2. **نتیجه:** چون در قسمت (الف) ثابت کردیم که هر چهار کمان با هم مساوی‌اند، پس وترهای روبه‌رو به آن‌ها (که اضلاع چهارضلعی $\mathbf{ADBC}$ هستند) نیز با هم مساوی‌اند. ### ج) برابری زاویه‌های چهارضلعی $\mathbf{ADBC}$ **آیا زاویه‌های چهارضلعی $\mathbf{ADBC}$ با هم مساوی‌اند؟ چرا؟** 1. **زاویه‌ی محاطی:** زاویه‌های $\mathbf{\hat{A}}$، $\mathbf{\hat{D}}$، $\mathbf{\hat{B}}$ و $\mathbf{\hat{C}}$، همگی **زاویه‌ی محاطی** هستند (رأس آن‌ها روی محیط دایره است). 2. **زاویه‌ی روبه‌رو به کمان:** اندازه‌ی هر زاویه‌ی محاطی نصف اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. * **زاویه‌ی $\mathbf{\hat{A}}$** روبه‌رو به کمان $\overparen{BDC}$ است. ($verparen{BDC} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$) * **اندازه‌ی $\mathbf{\hat{A}}$:** $${ \hat{A} = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ} }$$ * به همین ترتیب، **همه** زاویه‌های داخلی چهارضلعی روبه‌رو به نیم‌دایره هستند (مثل $\mathbf{\hat{B}}$ روبه‌رو به $\overparen{ADC}$، $\mathbf{\hat{C}}$ روبه‌رو به $\overparen{DAB}$ و $\mathbf{\hat{D}}$ روبه‌رو به $\overparen{ACB}$). **نتیجه:** بله، همه‌ی زاویه‌های چهارضلعی $\mathbf{ADBC}$ با هم مساوی‌اند و همگی $\mathbf{90^{\circ}}$ هستند. **نتیجه‌گیری نهایی:** چون همه‌ی ضلع‌ها (وترها) و همه‌ی زاویه‌های داخلی $\mathbf{ADBC}$ مساوی‌اند، این چهارضلعی یک **مربع** است (که نوعی **چندضلعی منتظم** است).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 145 - فعالیت 5 این فعالیت به بررسی تأثیر محل تقاطع دو وتر عمود بر هم در دایره می‌پردازد و آن را با حالت خاص (قطرهای عمود) مقایسه می‌کند. ### الف) برابری کمان‌ها **آیا کمان‌های $\overparen{AC}$، $\overparen{CB}$، $\overparen{BD}$ و $\overparen{DA}$ با هم مساوی‌اند؟** 1. **بررسی زوایا:** در این شکل، وترهای $\mathbf{\overline{AB}}$ و $\mathbf{\overline{CD}}$ بر هم عمودند (زاویه‌ی $\mathbf{90^{\circ}}$ ساخته‌اند)، اما این عمود بودن **در مرکز دایره ($\mathbf{O}$) رخ نداده است.** 2. **زاویه‌ی مرکزی:** چون محل تقاطع $\mathbf{O}$ نیست، زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به این کمان‌ها (مانند $\mathbf{\angle AOC}$ و $\mathbf{\angle COB}$) **الزاماً** $90^{\circ}$ نیستند و با هم برابر نیستند. **نتیجه:** خیر. چون زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به این کمان‌ها (مانند $\mathbf{\angle AOC}$ و $\mathbf{\angle COB}$) برابر نیستند، پس **کمان‌های $\overparen{AC}$، $\overparen{CB}$، $\overparen{BD}$ و $\overparen{DA}$ نیز با هم مساوی نیستند.** ### ب) مقایسه با تمرین قبل (فعالیت 4) **تفاوت اصلی:** | ویژگی | فعالیت 4 (قطرهای عمود) | فعالیت 5 (وترهای عمود) | | :---: | :---: | :---: | | **نوع پاره‌خط** | **قطر** (از مرکز می‌گذرند) | **وتر** (از مرکز نمی‌گذرند) | | **نقطه‌ی تقاطع** | **مرکز دایره** ($\mathbf{O}$) | **نقطه‌ای درون دایره** ($\mathbf{P \ne O}$) | | **زاویه‌ی مرکزی** | **90 درجه** | **الزاماً 90 درجه نیست** | | **برابری کمان‌ها** | **بله** (هر چهار کمان 90 درجه‌اند) | **خیر** (چهار کمان مساوی نیستند) | **خلاصه‌ی تفاوت:** در فعالیت قبل (4)، عمود بودن دو وتر **در مرکز دایره** باعث می‌شد که زاویه‌های مرکزی $90^{\circ}$ شوند و کمان‌ها و وترها برابر گردند. در این فعالیت (5)، عمود بودن دو وتر **خارج از مرکز** رخ داده و این عمود بودن بر زوایای مرکزی (و در نتیجه برابری کمان‌ها) **تأثیری ندارد**.